System Rzymski i Dziesiątkowy

Cześć! Dziś przyjrzymy się systemom zapisu liczb. Choć najczęściej używamy naszego standardowego, dziesiątkowego sposobu zapisu, to na co dzień spotykamy również cyfry rzymskie – na zegarach, w nazwach stuleci czy przy zapisywaniu dat. Zrozumienie, jak działają oba te systemy, to podstawa pewnego poruszania się w świecie matematyki.

1. System Dziesiątkowy (Arabski)

Nasz codzienny system zapisywania liczb to system dziesiątkowy pozycyjny. Co to oznacza?

• Dziesiątkowy, ponieważ używamy dokładnie dziesięciu cyfr: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
• Pozycyjny, ponieważ wartość danej cyfry zależy od jej pozycji w liczbie.

Każda cyfra w liczbie ma swoje miejsce, z którego wynika jej "waga". Rozpatrzmy liczbę $345$:

• 5 to jedności ($5 \cdot 1$)
• 4 to dziesiątki ($4 \cdot 10$)
• 3 to setki ($3 \cdot 100$)

$$ 345 = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 1 $$

Ważnym elementem naszego systemu jest zero ($0$), które służy jako miejsce, w którym nie ma żadnych jedności, dziesiątek, czy setek, np. w liczbie $102$ mamy zero dziesiątek, ale zero to informuje nas, że jedynka jest setką, a nie dziesiątką!

2. System Rzymski

System rzymski to historyczny sposób zapisywania liczb. Zamiast cyfr używamy w nim siedmiu wielkich liter alfabetu. Co ciekawe, w starożytnym Rzymie w ogóle nie znano i nie używano zera!

Podstawowe znaki w systemie rzymskim:

• I = 1
• V = 5
• X = 10
• L = 50
• C = 100
• D = 500
• M = 1000

Zasady budowania liczb w systemie rzymskim

System rzymski jest systemem addytywnym z elementami odejmowania. To znaczy, że wartość liczby powstaje z dodawania (lub odejmowania) poszczególnych znaków.

1. Dodawanie: Zapisujemy znaki od największego do najmniejszego. Sumujemy ich wartości. $$ VII = 5 + 1 + 1 = 7 $$ $$ MDCC = 1000 + 500 + 100 + 100 = 1700 $$

2. Odejmowanie: Jeśli znak o mniejszej wartości znajduje się przed znakiem o większej wartości, to go odejmujemy. Służy to skracaniu zapisu (aby unikać pisania czterech takich samych znaków). $$ IV = 5 - 1 = 4 $$ $$ IX = 10 - 1 = 9 $$ $$ XL = 50 - 10 = 40 $$ $$ CM = 1000 - 100 = 900 $$

3. Reguła powtarzania: Znaków I, X, C, M możemy użyć maksymalnie trzy razy z rzędu. Znaków V, L, D nie wolno powtarzać (ponieważ $VV$ oznaczałoby po prostu $10$, a do tego mamy znak $X$).

• Źle: $IIII$, $XXXX$
• Dobrze: $IV$, $XL$

$$ XIV = 10 + (5 - 1) = 14 $$ $$ CMXCIX = 900 + 90 + 9 = 999 $$

Dla dociekliwych: Inne systemy zapisu – dwudziestkowy i sześćdziesiątkowy!

System dziesiątkowy wyewoluował najprawdopodobniej dlatego, że mamy dziesięć palców u rąk. Jednak nie wszystkie starożytne cywilizacje tak liczyły!

• Majowie stosowali system dwudziestkowy (podstawa 20). Używali nie tylko palców u rąk, ale i u nóg! Mieli też koncepcję zera, co w tamtych czasach było wielkim osiągnięciem. Ich cyfry składały się z kropek (jako jedności) i kresek (jako piątek).
• Babilończycy używali systemu sześćdziesiątkowego (podstawa 60). Wydaje się to skomplikowane, ale pamiątkę po nich mamy do dziś! To dlatego godzina ma $60$ minut, minuta $60$ sekund, a pełen kąt w kole ma $360$ stopni ($6 \cdot 60$). Liczba 60 jest wspaniała, bo dzieli się przez $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30$ co ułatwiało ułamki bez użycia przecinków.