Łapka LogoŁapka Matma
Wróć do lekcji

Vademecum Wzorów Matematycznych CKE 2027

Kompletne cyfrowe tablice matematyczne. Przeszukuj bazę na żywo, filtruj wg swojego egzaminu, zapisuj ulubione formuły gwiazdką ⭐ lub wydrukuj zoptymalizowany arkusz A4 do kieszeni.

📝 Quiz CKE
⚡ Działy:⚡Potęgi,(str. 2)✂️Algebra(str. 3)🪵Logarytmy(str. 2)🎯Funkcja(str. 4–5)📈Ciągi(str. 6–7)📐Trygonometria(str. 8–10)📏Planimetria(str. 11–16)🗺️Geometria(str. 17–19)📦Stereometria(str. 20–22)🎲Kombinatoryka,(str. 23–25)📈Rachunek(str. 26–27)
⚡

Potęgi, Pierwiastki i Wartość Bezwzględna

Działania na potęgach, pierwiastkach, potęga o wykładniku wymiernym i moduł liczby.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 2
E8PodstawaRozszerzenie
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s}
E8PodstawaRozszerzenie
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}
E8PodstawaRozszerzenie
Potęgowanie potęgi
(ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s}
E8PodstawaRozszerzenie
Potęga iloczynu i ilorazu
(a⋅b)r=ar⋅br,(ab)r=arbr(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}
PodstawaRozszerzenie
Wykładnik ujemny
a−n=1an,(ab)−n=(ba)na^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
PodstawaRozszerzenie
Wykładnik wymierny (ułamkowy)
amn=amn=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m
dla a>0a > 0, n≥2n \ge 2
E8PodstawaRozszerzenie
Mnożenie i dzielenie pierwiastków
an⋅bn=a⋅bn,anbn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}
PodstawaRozszerzenie
Definicja wartości bezwzględnej
∣x∣={xdla x≥0−xdla x<0|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|
✂️

Algebra i Wzory Skróconego Mnożenia

Kwadraty, sześciany, sumy i różnice potęg oraz dwumian Newtona.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 3
E8PodstawaRozszerzenie
Kwadrat sumy
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
E8PodstawaRozszerzenie
Kwadrat różnicy
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
E8PodstawaRozszerzenie
Różnica kwadratów
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Rozszerzenie
Sześcian sumy
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Rozszerzenie
Sześcian różnicy
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Rozszerzenie
Suma sześcianów
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Rozszerzenie
Różnica sześcianów
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Rozszerzenie
Kwadrat sumy trzech składników
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Rozszerzenie
Wzór dwumianowy Newtona
(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k
🪵

Logarytmy

Własności logarytmów, logarytm iloczynu, potęgi i zamiana podstawy.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 2
PodstawaRozszerzenie
Definicja logarytmu
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b
a>0a > 0, a≠1a \neq 1, b>0b > 0
PodstawaRozszerzenie
Logarytm iloczynu
log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y
PodstawaRozszerzenie
Logarytm ilorazu
log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y
PodstawaRozszerzenie
Logarytm potęgi
log⁡a(xk)=k⋅log⁡ax\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x
Rozszerzenie
Potęga w podstawie logarytmu
log⁡akx=1klog⁡ax\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x
PodstawaRozszerzenie
Tożsamości logarytmiczne
log⁡a1=0,log⁡aa=1,alog⁡ab=b\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1, \quad a^{\log_a b} = b
PodstawaRozszerzenie
Zamiana podstawy logarytmu
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
🎯

Funkcja Liniowa i Kwadratowa

Współczynnik kierunkowy, wyróżnik delta, postacie funkcji i wzory Viète'a.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 4–5
PodstawaRozszerzenie
Współczynnik kierunkowy prostej
a=y2−y1x2−x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
PodstawaRozszerzenie
Równanie prostej przez 2 punkty
(y−y1)(x2−x1)=(y2−y1)(x−x1)(y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)
PodstawaRozszerzenie
Postać ogólna i wyróżnik (delta)
f(x)=ax2+bx+c,Δ=b2−4acf(x) = ax^2 + bx + c, \quad \Delta = b^2 - 4ac
PodstawaRozszerzenie
Miejsca zerowe dla delty > 0
x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
PodstawaRozszerzenie
Jedno miejsce zerowe (delta = 0)
x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}
PodstawaRozszerzenie
Współrzędne wierzchołka paraboli
W=(p,q),p=−b2a,q=−Δ4aW = (p, q), \quad p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}
PodstawaRozszerzenie
Postać kanoniczna
f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x - p)^2 + q
PodstawaRozszerzenie
Postać iloczynowa
f(x)=a(x−x1)(x−x2)(Δ≥0)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \quad (\Delta \ge 0)
PodstawaRozszerzenie
Wzory Viète'a
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
Rozszerzenie
Suma kwadratów pierwiastków
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2
Rozszerzenie
Suma odwrotności pierwiastków
1x1+1x2=−bc\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-b}{c}
📈

Ciągi Liczbowe

Ciąg arytmetyczny, geometryczny, szereg geometryczny i procent składany.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 6–7
PodstawaRozszerzenie
Ciąg arytmetyczny – n-ty wyraz
an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r
PodstawaRozszerzenie
Własność sąsiednich wyrazów (arytmetyczny)
an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
PodstawaRozszerzenie
Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego
Sn=a1+an2⋅n=2a1+(n−1)r2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n
PodstawaRozszerzenie
Ciąg geometryczny – n-ty wyraz
an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
PodstawaRozszerzenie
Własność sąsiednich wyrazów (geometryczny)
an2=an−1⋅an+1a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}
PodstawaRozszerzenie
Suma n wyrazów ciągu geometrycznego
Sn=a1⋅1−qn1−q(q≠1)S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
Rozszerzenie
Szereg geometryczny (suma nieskończona)
S=a11−q(∣q∣<1)S = \frac{a_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)
PodstawaRozszerzenie
Procent składany
Kn=K0(1+p100)nK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n
📐

Trygonometria

Tożsamości trygonometryczne, wartości dla kątów oraz twierdzenie sinusów i cosinusów.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 8–10
PodstawaRozszerzenie
Jedynka trygonometryczna
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
PodstawaRozszerzenie
Definicja tangensa
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α(α≠90∘)\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\alpha \neq 90^\circ)
E8PodstawaRozszerzenie
Wartości dla kąta 30°
sin⁡30∘=12,  cos⁡30∘=32,  tg⁡30∘=33\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \; \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
E8PodstawaRozszerzenie
Wartości dla kąta 45°
sin⁡45∘=22,  cos⁡45∘=22,  tg⁡45∘=1\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; \operatorname{tg} 45^\circ = 1
E8PodstawaRozszerzenie
Wartości dla kąta 60°
sin⁡60∘=32,  cos⁡60∘=12,  tg⁡60∘=3\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \; \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}
PodstawaRozszerzenie
Twierdzenie sinusów
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R
RR – promień okręgu opisanego
PodstawaRozszerzenie
Twierdzenie cosinusów
c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma
📏

Planimetria (Geometria Płaska)

Pola trójkątów, czworokątów, okręgi i twierdzenie Pitagorasa.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 11–16
E8PodstawaRozszerzenie
Twierdzenie Pitagorasa
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
E8PodstawaRozszerzenie
Pole trójkąta – wzory klasyczne
P=12ah=12absin⁡γP = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin\gamma
PodstawaRozszerzenie
Pole trójkąta z promieniami okręgów
P=abc4R=p⋅rP = \frac{abc}{4R} = p \cdot r
p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}
PodstawaRozszerzenie
Wzór Herona na pole trójkąta
P=p(p−a)(p−b)(p−c)P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
E8PodstawaRozszerzenie
Trójkąt równoboczny
h=a32,P=a234,R=23h,r=13hh = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad R = \frac{2}{3}h, \quad r = \frac{1}{3}h
E8PodstawaRozszerzenie
Pole i obwód koła
P=πr2,L=2πrP = \pi r^2, \quad L = 2\pi r
E8PodstawaRozszerzenie
Kąt środkowy i wpisany w okrąg
αsˊr=2⋅βwp\alpha_{\text{śr}} = 2 \cdot \beta_{\text{wp}}
oparte na tym samym łuku
🗺️

Geometria Analityczna (Układ Współrzędnych)

Równania prostych, odległości punktów, środek odcinka i okręgi.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 17–19
E8PodstawaRozszerzenie
Długość odcinka AB
∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
E8PodstawaRozszerzenie
Środek odcinka AB
S=(xA+xB2,  yA+yB2)S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \; \frac{y_A + y_B}{2}\right)
PodstawaRozszerzenie
Proste równoległe i prostopadłe
y=a1x+b1∥y=a2x+b2  ⟺  a1=a2,l1⊥l2  ⟺  a1⋅a2=−1y = a_1 x + b_1 \parallel y = a_2 x + b_2 \iff a_1 = a_2, \quad l_1 \perp l_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1
PodstawaRozszerzenie
Odległość punktu od prostej
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
PodstawaRozszerzenie
Równanie okręgu w układzie współrzędnych
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Środek S=(a,b)S=(a,b), promień rr
📦

Stereometria (Geometria Przestrzenna)

Objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 20–22
E8PodstawaRozszerzenie
Prostopadłościan i sześcian
V=abc,Pc=2(ab+bc+ac),d=a2+b2+c2V = abc, \quad P_c = 2(ab + bc + ac), \quad d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
E8PodstawaRozszerzenie
Graniastosłup prosty
V=Pp⋅H,Pc=2Pp+PbV = P_p \cdot H, \quad P_c = 2P_p + P_b
E8PodstawaRozszerzenie
Ostrosłup prawidłowy
V=13Pp⋅HV = \frac{1}{3}P_p \cdot H
E8PodstawaRozszerzenie
Walec
V=πr2H,Pc=2πr2+2πrHV = \pi r^2 H, \quad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H
PodstawaRozszerzenie
Stożek
V=13πr2H,Pc=πr2+πrlV = \frac{1}{3}\pi r^2 H, \quad P_c = \pi r^2 + \pi r l
ll – tworząca: r2+H2=l2r^2 + H^2 = l^2
PodstawaRozszerzenie
Kula
V=43πr3,Pc=4πr2V = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad P_c = 4\pi r^2
🎲

Kombinatoryka, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Permutacje, kombinacje, prawdopodobieństwo klasyczne i statystyka opisowa.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 23–25
PodstawaRozszerzenie
Silnia i permutacje
n!=1⋅2⋅…⋅n,Pn=n!n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n, \quad P_n = n!
Rozszerzenie
Kombinacje (symbol Newtona)
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Rozszerzenie
Wariacje z powtórzeniami
Wnk=nkW_n^k = n^k
E8PodstawaRozszerzenie
Prawdopodobieństwo klasyczne
P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}
0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1, P(Ω)=1P(\Omega) = 1
PodstawaRozszerzenie
Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń
P(A′)=1−P(A),P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A') = 1 - P(A), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
Rozszerzenie
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Rozszerzenie
Schemat Bernoulliego
Pn(k)=(nk)pk(1−p)n−kP_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
E8PodstawaRozszerzenie
Średnia arytmetyczna i ważona
xˉ=x1+…+xnn,xˉw=w1x1+…+wnxnw1+…+wn\bar{x} = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}, \quad \bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + \ldots + w_n x_n}{w_1 + \ldots + w_n}
PodstawaRozszerzenie
Odchylenie standardowe i wariancja
σ2=(x1−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2n,σ=σ2\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}, \quad \sigma = \sqrt{\sigma^2}
📈

Rachunek Różniczkowy i Analiza

Pochodna funkcji, reguły różniczkowania, styczna do wykresu i granice.

📖 Karta Wzorów CKE: str. 26–27
Rozszerzenie
Liczba Eulera jako granica
e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
Rozszerzenie
Pochodna potęgi i stałej
(xn)′=nxn−1,(c)′=0,(x)′=12x(x^n)' = n x^{n-1}, \quad (c)' = 0, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
Rozszerzenie
Pochodna sumy i iloczynu
(f±g)′=f′±g′,(f⋅g)′=f′g+fg′(f \pm g)' = f' \pm g', \quad (f \cdot g)' = f'g + fg'
Rozszerzenie
Pochodna ilorazu
(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
Rozszerzenie
Pochodna funkcji złożonej
[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Rozszerzenie
Równanie stycznej do wykresu funkcji
y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)
Rozszerzenie
Warunek konieczny istnienia ekstremum
f′(x0)=0f'(x_0) = 0
✓ Kod LaTeX skopiowany do schowka!