Pierwiastki

Pierwiastkowanie to w matematyce operacja odwrotna do potęgowania. Kiedy pytasz: "jaki jest pierwiastek kwadratowy z 25?", tak naprawdę zadajesz pytanie: "jaka liczba podniesiona do drugiej potęgi (czyli pomnożona przez samą siebie) da 25?".

1. Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Zwykły pierwiastek kwadratowy oznaczamy symbolem $\sqrt{\ }$. Domyślnie "ukryta" jest tam dwójka (czyli stopień pierwiastka).

$$ \sqrt{25} = 5 $$

Dzieje się tak, ponieważ:

$$ 5 \cdot 5 = 5^2 = 25 $$

Mamy też pierwiastki trzeciego stopnia (sześcienne), oznaczane małą trójką $\sqrt[3]{\ }$. W ich przypadku zadajemy pytanie: "jaka liczba pomnożona przez siebie trzy razy da nasz wynik?".

$$ \sqrt[3]{8} = 2 $$

Ponieważ:

$$ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8 $$

Pamiętaj, że z liczb ujemnych można wyciągać tylko pierwiastki nieparzystych stopni (np. trzeciego stopnia), np. $\sqrt[3]{-27} = -3$, bo $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej w matematyce szkolnej nie istnieje!

2. Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Często na egzaminie spotkasz pierwiastki, których nie da się łatwo policzyć, np. $\sqrt{12}$. Nie istnieje przecież liczba całkowita, która podniesiona do kwadratu daje $12$. Możemy jednak wyciągnąć (wyłączyć) część z pod pierwiastka!

Szukamy wtedy rozkładu tej liczby na iloczyn dwóch mniejszych, z których jedną da się spierwiastkować (np. $4, 9, 16, 25 \dots$).

W przypadku $12$ wiemy, że $12 = 4 \cdot 3$. Z $4$ potrafimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, więc:

$$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$

Inny przykład: $$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $$

3. Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

To operacja odwrotna. Czasami chcemy "schować" liczbę z powrotem pod pierwiastek, na przykład by ułatwić sobie porównywanie liczb. Jeśli masz $3\sqrt{5}$ i chcesz włączyć $3$ pod znak pierwiastka kwadratowego, musisz podnieść ją do kwadratu:

$$ 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} $$

A w przypadku pierwiastka sześciennego podnosimy do trzeciej potęgi:

$$ 2\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = \sqrt[3]{32} $$

4. Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Na pierwiastkach tego samego stopnia (np. obu kwadratowych lub obu sześciennych) możemy bardzo łatwo wykonywać mnożenie i dzielenie, po prostu wciągając wszystko pod jeden, wspólny "daszek".

Mnożenie: $$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $$ Przykład: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$

Dzielenie: $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$ Przykład: $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$

Uwaga! Podobna zasada nie działa dla dodawania ani odejmowania! $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ to nie to samo co $\sqrt{25}$. Spójrz: $3 + 4 = 7$, a nie $5$.

5. Szacowanie pierwiastków

Często nie musimy znać dokładnej wartości pierwiastka (która zwykle ma nieskończenie wiele cyfr po przecinku), ale tylko ocenić, pomiędzy jakimi dwiema liczbami całkowitymi się znajduje. To popularny typ zadań!

Załóżmy, że musimy oszacować $\sqrt{20}$. Szukamy najbliższych liczb całkowitych "wokół" $20$, z których znamy dokładne pierwiastki:

mniejsza to $16$ (bo $\sqrt{16} = 4$)
większa to $25$ (bo $\sqrt{25} = 5$)

Skoro $16 < 20 < 25$, to: $$ \sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} $$ A więc: $$ 4 < \sqrt{20} < 5 $$

Liczba $\sqrt{20}$ znajduje się pomiędzy $4$ a $5$.

Dla dociekliwych: Sekret Pitagorejczyków

Dlaczego starożytnych tak szokowały pierwiastki? Wyobraź sobie szkołę Pitagorejczyków (tak, tych od słynnego twierdzenia). Wierzyli oni głęboko, że cały wszechświat można opisać za pomocą prostych ułamków (liczb wymiernych), czyli stosunków liczb całkowitych, np. $\frac{1}{2}$ czy $\frac{3}{4}$.

Wszystko szło świetnie, aż do momentu, gdy narysowali kwadrat o boku $1$ i spróbowali zmierzyć jego przekątną. Z Twierdzenia Pitagorasa ($a^2 + b^2 = c^2$) wynikało, że przekątna $d$ spełnia równanie: $$ 1^2 + 1^2 = d^2 $$ $$ 2 = d^2 $$ $$ d = \sqrt{2} $$

Zaczęli szukać jakiegokolwiek ułamka, który podniesiony do kwadratu da dokładnie $2$. Ku ich absolutnemu przerażeniu, udowodnili, że taki ułamek nie istnieje! Odkryli, że $\sqrt{2}$ to tzw. liczba niewymierna – jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nie zapętla (ok. $1,41421356\dots$). Legenda głosi, że odkrycie to było tak wstrząsające dla ich filozofii świata, że uczeń Hippazos z Metapontu, który ujawnił ten sekret osobom spoza zakonu, został z wściekłości utopiony w morzu! Matematyka potrafi być niebezpieczna.