Całki

Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania. Jeśli pochodna mówi nam "jak szybko coś się zmienia", to całka odpowiada na pytanie "ile tego się nazbierało" — np. pole pod wykresem funkcji.

1. Całka nieoznaczona — funkcja pierwotna

Całka nieoznaczona $\int f(x) \, dx$ to znalezienie funkcji $F(x)$, której pochodna daje $f(x)$: $$ F'(x) = f(x) \quad \Rightarrow \quad \int f(x) \, dx = F(x) + C $$

Stała $C$ jest kluczowa! Ponieważ pochodna stałej wynosi $0$, do funkcji pierwotnej zawsze możemy dodać dowolną stałą. Dlatego piszemy $+ C$.

2. Wzory podstawowe

$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$ $$ \int e^x \, dx = e^x + C $$ $$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$ $$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $$

3. Liniowość całki

Całka jest operacją liniową — możemy wyciągać stałe i rozbijać sumy: $$ \int [a \cdot f(x) + b \cdot g(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx $$

4. Całkowanie przez podstawienie

Gdy w całce widzimy "funkcję wewnętrzną" i jej pochodną, stosujemy podstawienie $t = g(x)$: $$ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \xrightarrow{t = g(x)} \int f(t) \, dt $$

Przykład: $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$. Podstawiamy $t = x^2$, $dt = 2x \, dx$: $$ \int e^t \, dt = e^t + C = e^{x^2} + C $$

5. Całkowanie przez części

Gdy mamy iloczyn dwóch "różnych typów" funkcji, stosujemy wzór: $$ \int f \cdot g' \, dx = f \cdot g - \int f' \cdot g \, dx $$

Reguła LIATE pomaga wybrać, co oznaczyć jako $f$: Logarytmy → Inverse trig → Algebraiczne → Trygonometryczne → Exponentialne. Wybieramy $f$ jak najwcześniej z tej listy.

6. Całka oznaczona — twierdzenie Newtona-Leibniza

$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ Geometrycznie: całka oznaczona to pole pod wykresem funkcji $f(x)$ na przedziale $[a, b]$ (z uwzględnieniem znaku — poniżej osi $x$ pole jest ujemne).

Dla dociekliwych: Skąd wzięła się całka?

Historycznie, problem obliczania pól pod krzywymi nurtował matematyków od starożytności. Archimedes przybliżał pole koła za pomocą wpisanych wielokątów. W XVII wieku Newton i Leibniz niezależnie odkryli rewolucyjny fakt: różniczkowanie i całkowanie to operacje odwrotne (Fundamentalne Twierdzenie Rachunku Całkowego).

Formalnie, Riemann zdefiniował całkę jako granicę sum prostokątów. Dzielimy przedział $[a, b]$ na $n$ kawałków, budujemy na nich prostokąty o wysokości $f(x_i)$, sumujemy ich pola, a następnie puszczamy $n \to \infty$. Całka oznaczona to granica tej sumy — i okazuje się, że wystarczy znaleźć funkcję pierwotną i obliczyć różnicę $F(b) - F(a)$!